Wie viele Sekunden hat ein Jahr?

Dieses Thema im Forum "Powertalkez" wurde erstellt von Schröder, 1 Juli 2019.

  1. Schröder

    Schröder Problembär

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    Mal was für Kopfrechner:
    Wie kann man am besten im Kopf (also ohne jedwede Hilfsmittel, dazu gehören auch Stift und Papier) ausrechnen, wie viele Sekunden ein Jahr hat?

    Kleiner Tipp: Um die Ecke denken hilft. Der direkte Weg (60 x 60 x 24 x 365) dürfte etwas schwierig sein.

    Es geht und jeder, der eine 4-5-stellige Zahl x 2 nehmen kann, kann auch diese Aufgabe lösen.

    Viel Spaß!
    Ich werde demnächst einen Lösungweg hier präsentieren. Vielleicht finden sich aber noch mehrere oder sogar bessere.
     
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  3. Schröder

    Schröder Problembär

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    Hat keiner eine Lösung gefunden?

    So geht´s:

    Also 1 Minute = 60 Sekunden
    1 Stunde = 60 Minuten = 3.600 Sekunden
    Ein Tag hat 24 Stunden. 24 x 3.600 ist allerdings schon etwas schwieriger. Deswegen gehen wir einfach mal davon aus, das 1 Tag 25 Stunden hat und "x 25" ist dasselbe wie / 4 x 100,

    also 3.600 / 4 = 900 x 100 = 90.000
    Nun muss man 1 Stunde = 3.600 Sekunden wieder abziehen: 90.000 - 3.600 = 86.400 Sekunden / Tag

    2 Tage haben dann 86.400 x 2 = 172.800 Sekunden
    4 Tage haben dann 172.800 x 2 = 345.600 Sekunden (lässt sich einfach rechnen, wenn man 17 x 2 und 28 x 2 rechnet und 2 Nullen dran hängt).

    Davon zieht man nun 10% ab:
    345.600 (4 Tage)
    - 34.560 (0,4 Tage)
    ----------
    311.040 entsprechen 3,6 Tage (Hier einfach erst die Tausender voneinander abziehen, dann den Rest)

    das x 100 : 31.104.000 Sekunden entsprechen 360 Tage

    Nun noch 5 Tage drauf, also 86.400 x 5 oder 86.400 / 2 = 43.200 x 10 = 432.000

    Und zum Schluss:

    31.104.000
    + 432.000
    ..................
    31.536.000 Sekunden hat 1 Jahr. :)

    Das geht durchaus im Kopf, da die Zahlen sich doch recht einfach addieren, subtrahieren oder dividieren lassen.

    Ich hab damit bei einer Wette mal 10 € gewonnen. ;)

     
  4. Rupert

    Rupert Friends call me Loretta

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    Ist für mich nicht einfach; da müsste ich mir zuviele Zwischenergebnisse merken.

    Da lieber den Klassiker:
    Was ist die Gesamtsumme aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100? Also 1+2+3+4+5+6+...+100?

    Nennt sich auch "der kleine Gauß"; nur um mich nicht mit fremden Federn zu schmücken, noch dazu den Federn des Fürsten der Mathematik.
     
  5. HoratioTroche

    HoratioTroche Zuwanderer

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    Das ist 0.5 x n x (n+1). Also 50x101=5050.
    Im ersten Semester hab ich noch sehr gut zugehört. Der Weg zum induktiven Beweis war frei.
     
    Zuletzt bearbeitet: 12 Juli 2019
  6. Detti04

    Detti04 The Count

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    Sehr interessanter Loesungsweg, aber mir geht es da wie Rupert: Das koennte ich nicht im Kopf, denn da muesste ich mir zuviele Zwischenergebnisse merken.

    In vielen Faellen muss man ein Ergebnis ja ohnehin nicht genau berechnen, sondern man muss nur in etwa richtig sein. Dafuer hilft scharfes Schaetzen, und das geht in diesem Fall so:

    Wir wissen, dass eine Stunde 3600 Minuten hat. Das runde ich jetzt auf 4000 auf und merke mir, dass meine neue Zahl etwas mehr als 10% zu gross ist. Genauso runde ich 365 Tage auf 400 Tage auf; diesmal ist meine neue Zahl etwas weniger als 10% zu gross. Wenn ich jetzt 4000 x 400 multipliziere, dann erwarte ich, dass das Ergebnis gegenueber der wirklichen Zahl um 20% zu gross ist*, weil ich ja bei beiden Zahlen aufgerundet hatte; das "etwas mehr als" und "etwas weniger als" hebt sich in etwa weg. Daher muss ich die letzte Zahl, die mir zur Multiplikation noch fehlt, naemlich die Zahl der Stunden, um etwa 20% reduzieren. Allerdings will ich nur mit ganzen Zahlen rechnen, d.h. ich ziehe entweder 4 oder 5 von den 24 Stunden ab. Wenn ich 20 statt 24 verwenden, dann erwarte ich, dass mein Ergebnis zu gross ist; verwende ich 19, dann bin ich womoeglich schon zu klein. Um mir das Leben einfach zu machen, verwende ich 20, denn fuer eine Schaetzung duerfte das gut genug sein, und lande also bei:

    4.000 x 400 x 20 = 32.000.000 Sekunden pro Jahr

    Wie man sieht, ist mein Ergebnis gegenueber dem genauen Ergebnis wirklich zu gross. Mein Fehler betraegt aber nur (32.000.000-31.536.000)/31.536.000 = 1.5% und ist also recht klein. (Er ist hier sogar zufaellig sehr klein, denn ich waere auch mit einem groesseren Fehler zufrieden gewesen.) Dieses scharfe Schaetzen geht wirklich problemlos im Kopf.


    *Man beachte, dass ich bei der Multiplikation die prozentualen Fehler einfach addiere, statt sie zu multiplizieren. Fuer eine Schaetzung ist das gut genug, wenn die einzelnen prozentualen Fehler relativ klein sind. Zum Vergleich: 11 x 11 = 121 ist um etwa 20% groesser als 10 x 10 = 100.
     
  7. Detti04

    Detti04 The Count

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    Man kann die entsprechende Formel uebrigens sehr intuitiv mit kariertem Papier herleiten. Mal gucken, ob ich das hier erklaeren kann.

    Nehmen wir als Beispiel mal die Summe 1+2+3. Das stellen wir jetzt als eine Treppe aus Kreuzchen (X) dar; auf Papier wuerde ich eine aufsteigende Treppe nehmen, aber hier muss es eine absteigende Treppe sein. Das sieht also so aus:

    X
    XX
    XXX

    Jetzt dreht man das Papier um 180 Grad und erstellt direkt unter der alten Treppe eine neue Treppe, diesmal eine aus Kreisen. Insgesamt hat man dann:

    XXX
    OXX
    OOX
    OOO

    Man sieht sofort, dass man so ein Rechteck erzeugt hat, und dass der Flaecheninhalt dieses Rechtecks dem Doppelten der Summe 1+2+3 entspricht. Um den Flaecheninhalt des Rechtecks zu berechnen, brauchen wir Breite und Hoehe dieses Rechtecks. Die Breite oben ist 3 (d.h. 3 X), die Hoehe ist 4, wobei die rechte Seite genau 3 X und 1 O enthaelt. Damit ergibt sich fuer den Flaecheninhalt also:

    A = 3 x 4 = 3 x (3+1)

    Somit ergibt sich fuer die Zahl der Kreuze:

    S = A/2 = 3 x (3+1)/2

    Man erkennt leicht, dass dieses Verfahren bei allen ganzen Zahlen N funktioniert, weil wir ja immer ein entsprechendes Rechteck erhalten und dieses Rechteck immer eine Breite von N und eine Hohe von N+1 hat. Somit ergibt sich als Formel fuer die Summe S_N aller ganzen Zahlen von 1 bis N:

    S_N = N x (N+1)/2

    Damit ist Deine Frage natuerlich jetzt leicht zu beantworten:

    S_100 = 100 x (100+1)/2 = 50 x 101 = 5050
     
    Zuletzt bearbeitet: 12 Juli 2019
  8. HoratioTroche

    HoratioTroche Zuwanderer

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    Wie der kleine Gauss auf die Lösung kam, steht in jedem popullären Artikel über ihn.
    Ist noch einfacher als die geometrische Lösung.
     
  9. Rupert

    Rupert Friends call me Loretta

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    Ich hätte mir das mit den 400 Tagen hier gespart.

    60 x 60 rechnen = 3600, aufrunden auf 4000; 25 Stunden nehmen mit den 4000 multiplizieren = 100.000
    100.000 x 365 = 36.500.000
    Nun aus'm Bauch um 5.000.000 reduzieren = 31.500.000
    Warum 5.000.000? Weil das so ca. 15% von den 36.500.000 sind.
     
  10. kleinehexe

    kleinehexe SF-Dschungelkönigin 2011 und PTL-Meister 2015/16

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    Respekt, Männer. Mein Gehirn hat sich gerade verknotet.
     
    Ostmiez gefällt das.
  11. Rupert

    Rupert Friends call me Loretta

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    Vor'm Gauß oder uns? :D
     
  12. kleinehexe

    kleinehexe SF-Dschungelkönigin 2011 und PTL-Meister 2015/16

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    Vor euch :knicks: Ich bin absolut kein Zahlenmensch.
     
  13. Ostmiez

    Ostmiez Well-Known Member

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    Also ich könnte mir mein Leben auch anders vorstellen, als diese ganze Zahlensache.
    Maximum auswerten der Torverhältnisse :)
    Nach dem Lob vor versammelter Klasse meines Mathelehrers habe ich mit Mathe abgeschlossen, trotz
    sehr Gut auf dem Zeugnis
     
  14. kleinehexe

    kleinehexe SF-Dschungelkönigin 2011 und PTL-Meister 2015/16

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    Ich hatte ein sehr gutes "Mangelhaft" im Zeugnis.
     
  15. Detti04

    Detti04 The Count

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    Nee, die Gauss'sche Loesung ist nicht einfacher, falls Gauss tatsaechlich die Zahlen zu Paaren zusammengestellt hat, weil man bei ihr fuer gerade und ungerade N unterscheiden muss. Falls Gauss die Zahlen 1-100 zu Paaren zusammengestellt hat, dann hat er dabei Glueck gehabt, weil 100 eine gerade Zahl ist. Fuer gerade Zahlen erhaelt man natuerlich N/2 Paare, von denen jedes den Wert N+1 hat. Bei ungeraden Zahlen N wird die Sache aber schwieriger, weil eine Zahl ungepaart bleibt; man erhaelt dann naemlich

    - (N-1)/2 Paare, welche jeweils den Wert N+1 haben und
    - eine ungepaarte Zahl, naemlich (N+1)/2

    In Summe ergibt das natuerlich wieder N(N+1)/2, ist aber deutlich komplizerter herzuleiten. Der graphische Weg gilt aber fuer gerade und ungerade N gleichermassen. Das algebraische Analgon zur graphischen Methode waere, dass man die Zahlen 1-N zweimal untereinander aufschreibt, und zwar einmal von 1 bis N und einmal von N bis 1, d.h. so:

    1, 2, 3, ..., N-2, N-1, N
    N, N-1, N-2, ..., 3, 2, 1

    Man sieht dann leicht, dass die Summe beider Reihen zusammen N(N+1) ist, und zwar unabhangig davon, ob N gerade oder ungerade ist.
     
  16. Oldschool

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    "Ligget se" soll Gauß als 9 jähriger Schüler gesagt haben.
     
  17. HoratioTroche

    HoratioTroche Zuwanderer

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    Wenn ich die Zahlen 1-5 und die Zahlen 5-1 untereinander schreibe, habe ich 5 Paare mit der Summe 6, also 30. halbiert sind das 15, also die Summe von 1-5.
    Funktioniert doch. Man erhält doch N Paare mit dem Wert N+1.

    Das ist auch nicht komplizierter herzuleiten, du hast es doch selber schneller erklärt. Wenn auch etwas umständlich.
     
  18. Oldschool

    Oldschool Spielgestalter Moderator

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    offtopic aber humorvoll
    Frankenfeld rechnet 28:7 :respekt:
     
  19. Rupert

    Rupert Friends call me Loretta

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    Ich schätze mal sehr schwer, dass er genau das nicht gemacht hat um darauf zu kommen, dass es n(n+1)/2 ist. Das ist ja auch genau der Witz, dass die Lösung unabhängig davon ist, ob man eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Summanden hat.
     
  20. Detti04

    Detti04 The Count

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    Wikipedia beschreibt es aber so, dass Gauss die Zahlen zu Paaren zusammengefasst hat. Er hat es in der Anekdote ja auch nicht fuer beliebige Zahlen N gemacht, sondern nur fuer N=100, und da funktioniert es eben auch mit den Paaren.

    "[...] Während nun seine Mitschüler fleißig zu addieren begannen, stellte Gauß fest, dass sich die 100 zu addierenden Zahlen zu 50 Paaren gruppieren lassen, die jeweils die Summe 101 haben: 1 + 100 , 2 + 99 , 3 + 98 bis zu 50 + 51. [...]"

    Gaußsche Summenformel – Wikipedia
     
  21. HoratioTroche

    HoratioTroche Zuwanderer

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    Und dann wird ihn interessiert haben, ob das auch mit 101 geht, und hat es halt bewiesen.
    Oder derjenige, der es beschreibt, hat es falsch überliefert bekommen.
    Wir wissen ja nun nicht, wie er es gemacht hat.

    Wenn man es 2x untereinander schreibt, ist es egal ob gerade oder ungerade. Und darum geht es ja.
     
  22. Detti04

    Detti04 The Count

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    Der Vorteil der graphischen Methode mit kariertem Papier ist, dass sie so anschaulich ist, dass auch ein Grundschueler sie verstehen kann.

    Man kann am Beispiel Mengenlehre sehen, wie nuetzlich Anschaulichkeit ist: Wird sie einem spaeter im Leben per abstrakter Notation beigebracht, dann erscheint sie immer kompliziert; erlernt man sie aber als Grundschueler anschaulich mit Plaettchen, dann bleibt sie fuer immer einfach.
     
  23. HoratioTroche

    HoratioTroche Zuwanderer

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    Kann man auch grafisch beweisen, dass es für N+1 auch gilt?

    Also ausser mit einem Satz wie "weil man es leicht erkennt" oder "sieht man doch", also mathematisch korrekt?
     
  24. Detti04

    Detti04 The Count

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    Kann man schon, denke ich, und zwar aehnlich wie bei der vollstaendigen Induktion. Der Einfachheit halber mache ich das fuer den Flaecheninhalt des Rechtecks, weil die gesuchte Summe ja immer die Haelfte dieses Flaecheninhalts ist.

    Bei der vollstaendigen Induktion muessen wir hier also zeigen, dass

    A_N+1 = (N+1) x ((N+1)+1), wenn
    A_N = N x (N+1) gilt.

    Gehen wir mal vom Rechteck aus, dass wir fuer N=3 bekommen haben:

    XXX
    OXX
    OOX
    OOO

    Jetzt erstelle ich das Rechteck fuer N=4 und markiere die neu hinzugekommenen Elemente in rot:

    XXXX
    OXXX
    OOXX
    OOOX
    OOOO


    Wir sehen, dass 4 X und 4 O, d.h. insgesamt 8 neue Elemente, zum Rechteck himzugekommen sind. Das entspricht also 2(N+1) neuen Elementen, da wir ja von N=3 ausgegangen sind. Damit ist der Flaecheninhalt des neuen Rechtecks:

    A_4 = A_3 + 2 x 4 = 12 + 8 = 20

    Allgemein gilt:

    A_N+1 = A_N + 2(N+1) = N(N+1) + 2(N+1) = (N+2) x (N+1)

    Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber genau dieselbe wie in der gruenen Gleichung, d.h. wir haben genau die Gleichung erhalten, welche wir beweisen wollten. Somit haben wir bewiesen: Wenn die Gleichung fuer N gilt, dann gilt sie auch fuer die naechsthoehere Zahl N+1. Weil wir ausserdem in einem konkreten Fall (hier N=3) gezeigt haben, dass die Gleichung gilt, haben wir gezeigt, dass sie auch fuer alle natuerlichen Zahlen groesser 3 gilt.

    (Wollte man den Beweis richtig fuehren, dann nimmt man als konkreten Fall natuerlich den Trivialfall N=1, aber der hilft in Sachen Anschaulichkeit nichts, weil man da keine Treppe hat. Die Treppe hilft extrem fuer die Veranschauung des Faktors 1/2.)
     
  25. GaviaoDaFiel

    GaviaoDaFiel Last Dino Standing

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    Fucking nerds...
     
  26. JayJay

    JayJay De Fred sei linker Fuß

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    Ich war mal im Pub mit ner Horde Mathe/Physik/Schießmichtot-Studenten, die sich unfassbar an allerlei Rechnereien etc. heißredeten (so wie hier n bissl :D) ... Nachdem ich ne ganze Weile zugehört hatte (und natürlich gänzlich wenig verstanden hatte), hab ich dann irgendwann leicht auf den Tisch gehauen, tief Luft geholt und sinngemäß gemeint:

    Das is ja alles ganz toll und super, diese Zahlenzauberei. Was die Welt im innersten zusammen hält, nicht? Falls das jemandem von euch was sagt. Aber wozu denn das alles? Was habt ihr davon? Was hat die GESELLSCHAFT davon? ... Aus dieser ganzen Wissenschaft hat sich unser Fortschritt entwickelt, Maschinen, Industrie und so weiter. Und Zerstörungskraft. Bomben. Atombomben. Und nicht zu vergessen der Kapitalismus. Alles so schnell wie möglich, so groß wie möglich, so fortschrittlich wie möglich. Dafür wird geforscht und gerechnet und und und. Man möchte alles ergründen. Eine Weltformel am liebsten, damit die Macht des Wissens ins Unendliche geht. Aber noch mal: Was haben wir davon? Mehr Maschinen? Mehr Industrie? Mehr Bomben? Mehr... Kapitalismus? Also ehrlich... ich würde mich nicht damit rühmen, so ein Mathegenie zu sein. Philosophen, Künstler, Musiker, Literaten ... das sind Genies, im positiven Sinn. Solche, denen an einer friedliebenden Welt gelegen ist. Die wollen nichts in klar definierte Formeln und Zahlen zwängen. Die wollen unendliche Vielfalt. Wer braucht da Zahlen und Rechnerei, wenn die doch nur die Fantasie einschränken und letztendlich nur zu materiellem Wert führen. Und zu größtmöglichem Zerstörungspotential. Wer braucht das?

    Mit zwei der Leute am Tisch war ich richtig gut befreundet, die kannten mich und grinsten sich was, weil sie wussten, dass ich gern mal Polemik betreibe, wenn mir das Tischthema zu öde ist. Die anderen saßen dann erstmal ganz sprachlos da und wussten nicht, was sie sagen sollten. Bis ich dann meinte "Na jetzt kommt mir doch wenigstens mit all den guten Dingen wie der Medizin und dass es letztlich doch an der Menschheit liegt, wie sie all das Wissen nutzt und da dann die ganzen Geisteswissenschaftler mit gefragt sind." ... da kam dann erst wieder Bewegung in die Runde und die checkten dann alle, was Sache ist. Wurde dann für Stunden eine sehr interessante Diskussion, an der sogar Feynman seine Freude gehabt hätte.

    Warum ich das jetzt hier mit einbringe, öhm, keine Ahnung. Aber hey - wenn mir ein Tischthema zu öde ist.... :D
     
  27. Detti04

    Detti04 The Count

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    Ich hab nichts gegen Kunst und Literatur, ganz im Gegenteil: Die fuer mich wichtigsten Buecher, die ich je gelesen habe, sind Romane. Grundsaetzlich ist der Antrieb von Kuenstlern und Naturwissenschaftlern auch derselbe: Beide wollen die Welt verstehen und ihre Erkenntnisse dann dem Rest der Menschheit mitteilen.

    Aber Geisteswissenschaften... Ich sags mal so: Alles, was "Wissenschaft" im Namen fuehrt ist so verdaechtig wie ein Staat, der "Demokratisch" im Namen traegt.
     
  28. JayJay

    JayJay De Fred sei linker Fuß

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    Find ich ja letztlich auch, absolut. Da ich Feynman bereits erwähnte, hier ein sehr treffender Beitrag seinerseits, welchen ich unfassbar inspirierend finde:



    Was den Begriff "Wissenschaft" angeht. Tjoa. Einerseits ein Definitionsding, andererseits auch etwas inflationär - vor allem hinsichtlich Studiengänge. Wer könnte beispielsweise etwas mit "Promenadologie" anfangen? Das ist die Wissenschaft vom Spazierengehen. :opa:
     
  29. Rupert

    Rupert Friends call me Loretta

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    Was Dun davon hast? Du kannst hier was tippen.
    Hihi, und dann einen der maßgeblichen Physiker des 20. Jhd. anführen, der eine der besten Theorien, die Quantenelektrodynamik, entwickelt hat, finde ich recht witzig :D
    Und wenn wir schon bei Feynman sind: Was ist Energie?
    Und noch was: Es gibt die "Feynman Lectures" - mal was davon gehört? Ich hoffe.

    Warum ich das jetzt hier mit einbringe, öhm, keine Ahnung. Aber hey - wenn ich was lustig finde, sag ich's :D

    Scheisse, da steht ja auch noch "Zahlenzauberei" :lachweg:
    Welcome :)
     
    Zuletzt bearbeitet: 13 Juli 2019
  30. JayJay

    JayJay De Fred sei linker Fuß

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    Hab ich denn was davon, weil ich hier was tippen kann? Hätte es den ganzen Fortschritt so nicht gegeben und das Tippen hier wäre ergo nicht möglich, so würden wir das Thema als solches gar nicht haben, geschweige denn diese Plattform usw. Also insofern - nö, das is kein Argument. :fress:

    Feynman Lectures als Begriff hab ich schon öfters mal gehört/gelesen. Hab mich aber bis jetzt noch nie näher damit auseinandergesetzt. Vielleicht irgendwann mal noch.

    Und als weiteres Scheit im Ofen:

    „Erbitterter Wettkampf um Prioritäten und Patente, privates Gewinnstreben, nationale Konkurrenz um zukünftige Absatzmärkte und Einflussgebiete sind die Kriterien ... Grenzenloser Optimismus, ein durch keinerlei politische Zweifel getrübtes Fortschrittspathos und eine Blindheit für die sozialen Folgen von Technik ... beherrschen in allen großen Industriestaaten die Szene.“
    Jost Herbig im Bundestag zum Thema Technologie
     
  31. Rupert

    Rupert Friends call me Loretta

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    Noch was: Was Du mit "Weltformel" bezeichnest, ist eine Theorie, die die 4 Grundkräfte einheitlich beschreibt. Das hat mal gar nichts damit zu tun, dass "die Macht des Wissens ins Unendliche geht".
    Es ist Forscherdrang und Neugier verstehen zu wollen wie die grundsätzlichen naturgesetzlichen Gesetzmäßigkeiten der Natur ticken könnten und die beste Sprache bisher diese Gesetzmäßigkeiten auszudrücken, ist nun mal die Mathematik :)
     
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